计算1到N中包含数字1的个数

pandonix

今天看到一道有趣的算法题，题目如下：
N为正整数，计算从1到N的所有整数中包含数字1的个数。比如，N=10，从1，2...10，包含有2个数字1。
 
相信很多人都能立刻得出以下的解法：
  for(n:N)
  {
          判断n包含1的个数；
          累加计数器；
  }
这是最直接的解法，但遗憾的是，时间复杂程度为O(N*logN)。因为还需要循环判断当前的n的各位数，该判断的时间复杂程度为O(logN)。
接下来就应该思考效率更高的解法了。说实话，这道题让我想起另外一道简单的算法题：
N为正整数，计算从1到N的整数和。
很多人都采用了循环求解。然后利用初等数学知识就知道S=N*(N+1)/2，所以用O(1)的时间就可以处理。
再回到本道题目，同理应该去寻找到结果R与N之间的映射关系。
分析如下：
假设N表示为a[n]a[n-1]...a[1]，其中a[i](1<=i<=n)表示N的各位数上的数字。
c[i]表示从整数1到整数a[i]...a[1]中包含数字1的个数。
x[i]表示从整数1到10^i - 1中包含数字1的个数，例如，x[1]表示从1到9的个数，结果为1；x[2]表示从1到99的个数，结果为20；
当a[1]=0时，c[1] = 0;
当a[1]=1时，c[1] = 1;
当a[1]>1时，c[1] = 1;
 
当a[2]=1时，c[2] = a[1] +1+ c[1] + x[1];
当a[2]>1时，c[2] = a[2]*x[1]+c[1]+10;
 
当a[3]=1时，c[3] = a[2]*a[1] +1+ c[2] + x[2];
当a[3]>1时，c[3] = a[3]*x[2]+c[2]+10^2;
......
 
以此类推
当a[i]=1时，c[i] = a[i-1]*...*a[1] +1+ c[i-1]+x[i-1];
当a[i]>1时，c[i] = a[i]x[i-1]+c[i-1]+10^(i-1);
 
 
实现的代码如下：
    public static int search(int _n)       {           int N = _n/10;           int a1 = _n%10,a2;           int x = 1;        int ten = 10;        int c = a1 == 0?0:1;        while(N > 0)           {               a2 = N%10;            if(a2 == 0);            else if(a2 == 1)c = a1 + 1 + x + c;               else c = a2*x + c + ten;               a1 = 10*a1 + a2;                 N /=10;               x = 10*x + ten;            ten *= 10;         }           return c;       } 
 
而以上解法的时间复杂程度只有O(logN)
 
如果您路过这里，您有更好的解法吗？：）