第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题

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第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题

 
    在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.
 
1   挖掘隐含的辅助圆解题
 
    有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.
1.1 　作出三角形的外接圆
例1  如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC <em style="" />
上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝
∠A.求证：BD＝2CD.
分析：关键是寻求∠BED＝2∠CED与结论的联系.
容易想到作∠BED的平分线,但因BE≠ED,故不能
直接证出BD＝2CD.若延长AD交△ABC的外接圆
于F,则可得EB＝EF,从而获取.
证明：如图1,延长AD与△ABC的外接圆相交于点F,连结CF与BF,则∠BFA＝∠BCA＝∠ABC＝∠AFC,即∠BFD＝∠CFD.故BF:CF＝BD:DC.
    又∠BEF＝∠BAC,∠BFE＝∠BCA,从而∠FBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠BFE.
　　故EB＝EF.
    作∠BEF的平分线交BF于G,则BG＝GF.
    因∠GEF＝ ∠BEF＝∠CEF,∠GFE＝∠CFE,故△FEG≌△FEC.从而GF＝FC.
    于是,BF＝2CF.故BD＝2CD.
1.2 利用四点共圆
例2  凸四边形ABCD中,∠ABC＝60°,∠BAD＝
∠BCD＝90°,
AB＝2,CD＝1,对角线AC、BD交于点O,如图2.
则sin∠AOB＝____.
分析：由∠BAD＝∠BCD＝90°可知A、B、C、D
四点共圆,欲求sin∠AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、AD即可.
解：因∠BAD＝∠BCD＝90°,故A、B、C、D四点共圆.延长BA、CD交于P,则∠ADP＝∠ABC＝60°.
    设AD＝x,有AP＝ x,DP＝2x.由割线定理得(2＋ x) x＝2x(1＋2x).解得AD＝x＝2 －2,BC＝ BP＝4－ .
    由托勒密定理有
    BD·CA＝(4－ )(2 －2)＋2×1＝10 －12.
    又SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝ .
    故sin∠AOB＝ .
例3  已知：如图3,AB＝BC＝CA＝AD,AH
⊥CD于H,CP⊥BC,CP交AH于P.求证：
△ABC的面积S＝ AP·BD.
分析：因S△ABC＝ BC2＝ AC·BC,只
须证AC·BC＝AP·BD,转化为证△APC∽△BCD.这由A、B、C、Q四点共圆易证(Q为BD与AH交点).
证明：记BD与AH交于点Q,则由AC＝AD,AH⊥CD得∠ACQ＝∠ADQ.
    又AB＝AD,故∠ADQ＝∠ABQ.
    从而,∠ABQ＝∠ACQ.可知A、B、C、Q四点共圆.
    ∵∠APC＝90°＋∠PCH＝∠BCD,∠CBQ＝∠CAQ,
    ∴△APC∽△BCD.
    ∴AC·BC＝AP·BD.
    于是,S＝ AC·BC＝ AP·BD.
 
2   构造相关的辅助圆解题
 
有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关<strong />
的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.
2.1 联想圆的定义构造辅助圆
例4  如图4,四边形ABCD中,AB∥CD,AD＝DC
＝DB＝p,BC＝q.求对角线AC的长.
分析：由“AD＝DC＝DB＝p”可知A、B、C在
半径为p的⊙D上.利用圆的性质即可找到AC与
p、q的关系.
解：延长CD交半径为p的⊙D于E点,连结AE.
显然A、B、C在⊙D上.
    ∵AB∥CD,
∴BC＝AE.
    从而,BC＝AE＝q.
    在△ACE中,∠CAE＝90°,CE＝2p,AE＝q,故
    AC＝ ＝ .
2.2 联想直径的性质构造辅助圆
例5  已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与<em style="" />