第三讲 点共线、线共点

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第三讲  点共线、线共点

 
在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
 
 
1. 点共线的证明<strong />
 
点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。
 
例1  如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证：H，C，K三点共线。
证  连AK，DG，HB。
由题意，AD EC KG，知四边形AKGD是平行四边形，于是AK DG。同样可证AK HB。四边形AHBK是平行四边形，其对角线AB，KH互相平分。而C是AB中点，线段KH过C点，故K，C，H三点共线。
 
例2  如图所示，菱形ABCD中，∠A=120°， O为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F。求证：D，E，F三点共线。
 
 
证  如图，连AC，DF，DE。
因为M在 O上，
则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB，
有△AMC∽△ACF，得

<span style="font-size: 12pt;" />。

又因为∠AMC=BAC，所以△AMC∽△EAC，得

<span style="font-size: 12pt;" />。

所以 ，又∠BAD=∠BCD=120°，知△CFD∽
△ADE。所以∠ADE=∠DFB。因为AD∥BC，所以∠ADF=∠DFB=∠ADE，于是F，E，D三点共线。
 
例3  四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。
证    如图。
连接PQ，并在PQ上取一点M，使得
B，C，M，P四点共圆，连CM，PF。设PF与圆的另一交点为E’，并作QG丄PF，垂足为G。易如

QE2=QM·QP=QC·QB      ①

∠PMC=∠ABC=∠PDQ。
从而C，D，Q，M四点共圆，于是

PM·PQ=PC·PD   ②

由①，②得
PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB，
即PQ2=QC·QB+PC·PD。
易知PD·PC=PE’·PF，又QF2=QC·QB，有

PE’