解梅式砝码问题

liugang594

原题：
 
法国数学家梅齐亚克在他著名的《数字组合游戏》(1962)中提出了一个问题：一位商人有一个重40磅的砝码，一天不小心将砝码摔成了四块。后来商人称得每块的重量都是整磅数，而且发现这四块碎片可以在天平上称1至40磅之间的任意重量。请问这四块碎片各重多少？
 
我的解：
 
显然我们可以有如下合理的假设：
 
这四块的重量分别：a，b，c，d；且有：1<=a<=b<=c<=d<=37。（a,b,c,d都是整数）
 
因为这四个碎片可以称得1到40中的任意重量，则可以得到a=1，否则39就没法称了。
 
39=b+c+d
38=b+c+d-a
 
另外，d<30，否则，10到20间的数表示不了。
 
所以有式子： 1=a,  b<=c<=d<=29
 
我的解法就是此数类推得到最后一种可能：1 3 9 27
 
不过由此我倒是得出了一个数学结论：
 
有数a[1] a[2] ...a[n]，它们是从小到大排列的整数，且a[1]=1，有a[i+1] = 2(a[1]+...+a)+1，则：这组数总是存在一个组合，可以表示从1到（a[1]+...+a[n]）中的任意一个整数，其中组合中的每个数的系数只能是0，1或-1，即数最多可被使用一次。
 
这里给出一个小小的证明：
 
1，显示这组数可以表示1，有a[1]=1
2，假如一直到数K都可以被表示，其中1<=K<a[1]+...+a[n]，且有
     K = c1 *a[1]+...+cn*a[n]，其中 （c1...cn是0，-1，1中的一个数）
 
     则对于K+1有：
     K +1 = c1 *a[1]+...+cn*a[n] + 1
              = c1 *a[1]+...+cn*a[n] + a[1]
              = (c1+1)*a[1]+...+cn*a[n]
 
    i. 这里分情况讨论了，当c1=0或-1的时候，结论成立，得证
    ii.当c1 = 1的时候，则
     
      K+1 = 2a[1] +c2*a[2]+ ...+ cn*a[n]
              = (a[2] -1)+c2*a[2] +...+cn*a[n]
              = -a[1] + (c2+1)*a[2] + ... + cn*a[n]
 
     按a[1]的方式对a[2]进行讨论，否则以此类推。
    
     因为K<a[1]+...+a[n]，则c1...cn中必有数为0或者-1，假如第ci为0或-1
  
     则可以得到 K+1 = -a[1] - a[2] -...-a[i-1] + ci'*a + ...+ cn*a[n]
     其中ci'=0或1。此时表达式符合题设要求。结果得证