c++画分形之Julia集与Mandelbrot集

可健康了

<div id="cnblogs_post_body">　　Julia集是一个在复平面上形成分形的点的集合，它最早由法国数学家Gaston Julia发现。
　　Julia集合可以由下式进行反复迭代得到：f(z) = z2 + c, 其中z是复平面某一点，c是一个复常数。把这个公式反复迭代，最终会得到一个复数C,然后根据C的模的大小，把这个点映射成不同的颜色，漂亮的Julia集分形就出来了。可以参阅M67的这篇文章，其中有详细的介绍。
　　下面的几幅图是我用c++和opencv画出来的，一张500*500的图片，迭代15次，在我的i5电脑上跑约不到10秒，速度稍慢。图中不同的C值对应着不同的Julia集，配色比较烂，大家凑合着看。
c = 0.73i

c = -0.3128 + 0.756i


c = 0.45


c = 0.3


当把复数C替换成该点的坐标时，著名的Mandelbrot集就出现了，图中每一个像素点都是一个Julia集。可以把Mandlbrot集是理解为是Julia集的一个缩影，图中不同的颜色表示该点所在的Julia集的发散速度。这张我图画的很不满意，因为迭代次数太少，精度不够，而且颜色也非常难看。在我的x86系统上迭代15次就已经有一些点会overflow了，叹气！期待高人指点

　　这里盗用M67的一段话：“生成 Mandelbrot 集的算法和生成 Julia 集的算法完全一样，只是这一次我们固定的是初始值，而把 c 当作了变量。Mandelbrot 集内的每一个点就对应了一个连通的 Julia 集，Mandelbrot 集合外的点则对应了不连通的 Julia 集，并且很容易想到，越靠近 Mandelbrot 集的边界，对应的 Julia 集形状就越诡异。因此， Mandelbrot 集还有另外一种解读方法：它就是 Julia 集的缩略图！完全没有比喻的意思，它真的就是 Julia 集的缩略图”。此处的初始值就是每个像素点所在坐标。



代码如下，c和d对应着上文中复数C的实部和虚部，改变它们就可以生成不同的Julia集
其中有两行注释掉的语句，把它们和上两行替换掉，程序就可以画出Mandelbrot集了。颜色的配置我写的很麻烦，因为自己手工设置的有一种亲切感。
<div class="cnblogs_code">#include "stdafx.h"#include <cv.h>#include <highgui.h>#include <cxcore.h>const int icount = 15;        //迭代次数const float c = -0.3128;        //实部const float d = 0.756;          //虚部
double m_real, m_image;　　　　//Mandelbro集
CvScalar colortab[21];class Complex{public:    double real;    double image;        Complex(double r=0, double i=0){real = r, image = i;}};    Complex operator+(const Complex& a, const Complex &b){    Complex c;    c.real = a.real + b.real;    c.image = a.image + b.image;    return c;}Complex operator*(const Complex& a, const Complex &b){    Complex c;    c.real = a.real * b.real - a.image * b.image;    c.image = a.image * b.real + a.real * b.image;    return c;}double Model(Complex a){    return sqrtf(a.real * a.real + a.image * a.image);}double Iteration(Complex a, int n){    if(n==0)        return Model(a);    else    {        Complex temp = a*a ;        temp.real += c;        temp.image += d;　　　　　　
//　　　 temp.real += m_real;　　把这两句代替前面的两句就是mandelbrot集了
//　　　 temp.image += m_image;
　　　　 return Iteration(temp, n-1);
　　}}CvScalar dye(double dist){    if(dist < 1.0/4096)        return colortab[0];    else if(dist < 1.0/1024)        return colortab[1];    else if(dist < 1.0/256)        return colortab[2];    else if(dist < 1.0/64)        return colortab[3];    else if(dist < 1.0/16)        return colortab[4];    else if(dist < 1.0/4)        return colortab[5];    else if(dist < 1)        return colortab[6];    else if(dist < 4)        return colortab[7];    else if(dist < 16)        return colortab[8];    else if(dist < 64)        return colortab[9];    else if(dist < 256)        return colortab[10];    else if(dist < 1024)        return colortab[11];    else if(dist < 4096)        return colortab[12];    else if(dist < 16384)        return colortab[13];    else if(dist < 65536)        return colortab[14];    else if(dist < 262144)        return colortab[15];    else if(dist < 1048576)        return colortab[16];    else if(dist < 4194304)        return colortab[17];    else if(dist < 16777216)        return colortab[18];    else if(dist < 67108864)        return colortab[19];    else return colortab[20];}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){    colortab[0] = CV_RGB(28, 28, 28);    colortab[1] = CV_RGB(130, 130, 130);    colortab[2] = CV_RGB(85, 26, 139);    colortab[3] = CV_RGB(224, 102, 255);    colortab[4] = CV_RGB(255, 187, 255);    colortab[5] = CV_RGB(0,0,205);    colortab[6] = CV_RGB(72, 118, 255);    colortab[7] = CV_RGB(0, 191, 255);    colortab[8] = CV_RGB(0, 255, 255);    colortab[9] = CV_RGB(0, 255, 127);    colortab[10] = CV_RGB(0, 255, 0);    colortab[11] = CV_RGB(50, 205, 50);    colortab[12] = CV_RGB(173, 255, 47);    colortab[13] = CV_RGB(255, 185, 15);    colortab[14] = CV_RGB(255, 215, 0);    colortab[15] = CV_RGB(255, 255, 0);    colortab[16] = CV_RGB(255, 69, 0);    colortab[17] = CV_RGB(255, 140, 0);    colortab[18] = CV_RGB(255, 211, 155);    colortab[19] = CV_RGB(255, 231, 186);    colortab[20] = CV_RGB(255, 239, 213);    IplImage* img = cvCreateImage(cvSize(500,500), 8, 3);    for (int Y=0; Y<img->height; Y++)    {        for (int X=0; X<img->width; X++)        {            float x = (X - img->width/2) / 200.0;            float y = (Y - img->height/2) / 200.0;            m_real = x;
　　　　　　　m_image = y;
　　　　　　　Complex a(x,y);            float dist = Iteration(a, icount);            CvScalar color = dye(dist);            cvSet2D(img, Y, X, color);        }    }    cvNamedWindow("Julia");    cvShowImage("Julia", img);    cvWaitKey(0);    //保存图片    char* path = "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\Julia.bmp";    cvSaveImage(path, img);    cvReleaseImage(&img);}