二维树状数组学习之一：彻底理解
当要频繁的对数组元素进行修改,同时又要频繁的查询数组内任一区间元素之和的时候,可以考虑使用树状数组.通常对一维数组最直接的算法可以在O(1)时间内完成一次修改,但是需要O(n)时间来进行一次查询.而树状数组的修改和查询均可在O(log(n))的时间内完成.
一、回顾一维树状数组
假设一维数组为A(i=1,2,...n),则与它对应的树状数组C(i=1,2,...n)是这样定义的：
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
……
C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16
......
http://dl.iteye.com/upload/attachment/0077/5509/729e30e6-7ba9-30a0-85cb-805b166e3bd8.jpg
(1)C展开以后有多少项？由下面公式计算：
int lowbit(int t){//计算c展开的项数
return t&(-t);
}
C展开的项数就是lowbit(t),C就是从A开始往左连续求lowbit(t)个数的和.
(2)修改
比如修改了A3,必须修改C3,C4,C8,C16,C32,C64...
当我们修改A的值时，可以从C往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，对于节点i，父节点下标 p=i+lowbit(i)
//给A加上 x后，更新一系列C
update(int i,int x){ while(i<=n){ c=c+x; i=i+lowbit(i); } }
(3)求数列A[]的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。
如：Sun(1)=C=A; Sun(2)=C=A+A; Sun(3)=C+C=A+A+A; Sun(4)=C=A+A+A+A; Sun(5)=C+C; Sun(6)=C+C; Sun(7)=C+C+C; Sun(8)=C; ,,,,,,int Sum(int n) //求前n项的和. { int sum=0; while(n>0) { sum+=C; n=n-lowbit(n); } return sum; } lowbit(1)=1 lowbit(2)=2 lowbit(3)=1 lowbit(4)=4 lowbit(5)=1 lowbit(6)=2 lowbit(7)=1 lowbit(8)=8 lowbit(9)=1 lowbit(10)=2 lowbit(11)=1 lowbit(12)=4lowbit(13)=1 lowbit(14)=2 lowbit(15)=1 lowbit(16)=16lowbit(17)=1 lowbit(18)=2 lowbit(19)=1 lowbit(20)=4lowbit(21)=1 lowbit(22)=2 lowbit(23)=1 lowbit(24)=8lowbit(25)=1 lowbit(26)=2 lowbit(27)=1 lowbit(28)=4lowbit(29)=1 lowbit(30)=2 lowbit(31)=1 lowbit(32)=32lowbit(33)=1 lowbit(34)=2 lowbit(35)=1 lowbit(36)=4lowbit(37)=1 lowbit(38)=2 lowbit(39)=1 lowbit(40)=8lowbit(41)=1 lowbit(42)=2 lowbit(43)=1 lowbit(44)=4lowbit(45)=1 lowbit(46)=2 lowbit(47)=1 lowbit(48)=16lowbit(49)=1 lowbit(50)=2 lowbit(51)=1 lowbit(52)=4lowbit(53)=1 lowbit(54)=2 lowbit(55)=1 lowbit(56)=8lowbit(57)=1 lowbit(58)=2 lowbit(59)=1 lowbit(60)=4lowbit(61)=1 lowbit(62)=2 lowbit(63)=1 lowbit(64)=64
二、树状数组可以扩充到二维。
问题：一个由数字构成的大矩阵，能进行两种操作
1) 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负）
2) 查询某个子矩阵里所有数字的和,要求对每次查询，输出结果。
一维树状数组很容易扩展到二维，在二维情况下:数组A[][]的树状数组定义为：
C = ∑ a, 其中，
x-lowbit(x) + 1 <= i <= x,
y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.
例：举个例子来看看C[][]的组成。
设原始二维数组为：
A[][]={{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19},
{a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29},
{a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39}，
{a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49}};
那么它对应的二维树状数组C[][]呢？
记:
B={a11,a11+a12,a13,a11+a12+a13+a14,a15,a15+a16,...} 这是第一行的一维树状数组
B={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,...} 这是第二行的一维树状数组
B={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,...} 这是第三行的一维树状数组
B={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,...} 这是第四行的一维树状数组
那么：
C=a11,C=a11+a12,C=a13,C=a11+a12+a13+a14,c=a15,C=a15+a16,...
这是A[][]第一行的一维树状数组
C=a11+a21,C=a11+a12+a21+a22,C=a13+a23,C=a11+a12+a13+a14+a21+a22+a23+a24,
C=a15+a25,C=a15+a16+a25+a26,...
这是A[][]数组第一行与第二行相加后的树状数组
C=a31,C=a31+a32,C=a33,C=a31+a32+a33+a34,C=a35,C=a35+a36,...
这是A[][]第三行的一维树状数组
C=a11+a21+a31+a41,C=a11+a12+a21+a22+a31+a32+a41+a42,C=a13+a23+a33+a43,...
这是A[][]数组第一行+第二行+第三行+第四行后的树状数组
搞清楚了二维树状数组C[][]的规律了吗？ 仔细研究一下,会发现:
（1）在二维情况下，如果修改了A=delta,则对应的二维树状数组更新函数为：
private void Modify(int i, int j, int delta){ A+=delta; for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x)) for(int y = j; y <A.length; y += lowbit(y)){ C += delta; } }
（2）在二维情况下，求子矩阵元素之和∑ a(前i行和前j列)的函数为
int Sum(int i, int j){ int result = 0; for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x)) { for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y)) { result += C; } } return result; }比如： Sun(1,1)=C;Sun(1,2)=C; Sun(1,3)=C+C;... Sun(2,1)=C;Sun(2,2)=C; Sun(2,3)=C+C;... Sun(3,1)=C+C; Sun(3,2)=C+C;
例：测试一下：
import java.util.Arrays;public class Test{ int[][] A;//原二维数组 int[][] C;//对应的二维树状数组 public Test(){ A=new int; C=new int; for(int i=1;i<5;i++) for(int j=1;j<6;j++) Modify(i,j,1);//给A[][]每个元素加1 for(int i=1;i<5;i++){ for(int j=1;j<6;j++) System.out.print(A+"");//输出A[][] System.out.println(); } System.out.println(Sum(3,4));//求子二维数组的和 Modify(2,3,4);//将A加4 System.out.println(Sum(3,4));//显示修改后的和 } private int lowbit(int t){ return t&(-t); } int Sum(int i, int j){ int result = 0; for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x)) { for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y)) { result += C; } } return result; } private void Modify(int i, int j, int delta){ A+=delta; for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x)) for(int y = j; y <A.length; y += lowbit(y)){ C += delta; } } public static void main(String args[]){ Test t=new Test(); } } C:\java>javaTest111111111111111111111216
未完,待续......
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